Krefeld Die 16 - quadratischer geht es nicht
Krefeld · Das Jahr 2016 ist durchaus berechenbar - zumindest aus der mathematischen Warte. Eine logische Annäherung an eine Zahl, die eine Menge Potenzial bietet.
Albrecht Dürers berühmter Kupferstich "Melencolia I". Über dem Kopf des Engels sieht man das magische Quadrat mit der Summe 34. Die Magie dieses Quadrats wird im Textabschnitt "Dürers magisches Quadrat" behandelt. Der Kupferstich stammt aus dem Jahr 1514 und gilt als das rätselhafteste Werk Dürres, der in seinen Bildern eine reiche Symbolik und Ikonographie. Augenfällig ist das Entstehungsjahr 1514, das im magischen Quadrat in den mittleren Feldern der unteren Reihe aufgeführt ist.
Foto: H.P.Eingeschlossen zwischen der 15 und der 17 fristet die 16 ein unauffälliges Dasein. Zahlentheoretisch ist sie eine Zweierpotenz, eine Quadratzahl und sogar das Quadrat einer Quadratzahl und damit die kleinste natürliche Biquadratzahl: 16 = 42.
Dürers magisches Quadrat
Bei einem magischen 4 x 4-Quadrat müssen die Zahlen 1 bis 16 so in ein quadratisches Schema geschrieben werden, dass die Summe der Zahlen in jeder Zeile, in jeder Spalte und in jeder Diagonalen die gleiche ist. Das berühmteste magische 4 x 4-Quadrat findet man in Albrecht Dürers Kupferstich "Melencolia I" (Abbildung rechts oben). Über dem Kopf des Engels sieht man ein magisches Quadrat mit der Summe 34, allerdings nicht nur in den Zeilen, Spalten und Diagonalen, sondern auch als Summe der Zahlen in den 2 x 2-Quadraten in der Mitte und den vier Ecken. Das Entstehungsjahr erkennt man zusammen mit Dürers Initialen (4=D und 1=A) in der untersten Zeile des Zauberquadrates. Magische Quadrate vom "Dürertyp" kann man wie folgt konstruieren:
Man vertauscht die diagonalen oder die nichtdiagonalen Zahlen des Ausgangsquadrates, um die beiden Versionen des magischen Viererquadrates zu erhalten.
Die 16 Kinder im Mathematikum
Eines der verblüffendsten Experimente im Mathematikmuseum "Mathematikum" in Gießen ist das 16-Kinder-Puzzle (rechts unten). Auf den beiden Bildern tummeln sich Kinder mit mathematischen Objekten. Die obere Hälfte eines jeden Bildes besteht aus zwei Teilen. Wenn man diese vertauscht, erkennt man wieder viele spielende Kinder - allein, wenn man nachzählt, sind es auf dem linken Bild 16 und auf dem rechten Bild nur noch 15 Kinder. Wo bleibt das 16. Kind? Die Lösung des Puzzles ist mathe-matischer und psychologischer Natur.
Zunächst zeichne ich im oberen Bild sechs Striche. Wenn man jetzt die oberen zwei Hälften des Bildes wie im Kinderpuzzle vertauscht, werden aus den sechs Strichen nur noch fünf, die aber ein wenig länger sind. Psychologen müssten jetzt genauer analysieren, welche Prozesse bei der "Wahrnehmung" dieser Striche in unserem Gehirn ablaufen.
Eine uralte Abituraufgabe
Die Tatsache, dass 16 eine Zweierpotenz und eine Biquadratzahl ist, führt in der Zahlentheorie und in der Analysis zu tiefgründigen Fragestellungen. Dies soll an einer Abituraufgabe, die vor zehn Jahren dezentral gestellt wurde, demonstriert werden.
Untersuchungen von Funktionsgraphen sind das tägliche Brot des Mathematikunterrichtes in der Oberstufe. Abgebildet ist der Graph der Funktion f mit dem Term f(x) = ln(x) /x für x>0. Dabei ist ln die natürliche Logarithmusfunktion. Was hat dieser Graph mit der Zahl 16 zu tun? Im Allgemeinen sind die Zahlen xy und yx verschieden. Grundzahl und Hochzahl darf man nicht vertauschen. Abgesehen von dem trivialen Fall x=y gibt es nur ein einziges Paar natürlicher Zahlen, für das die Vertauschung von Grund- und Hochzahl keine Wertänderung der Potenz bewirkt: 24 = 42 =16. Wenn er erkennt, dass die Gleichungen xy = yx und ln(x)/x = ln(y)/y (und: x,y>0) zueinander äquivalent sind, und wenn er das Monotonieverhalten der Funktion mit dem Term f(x) = ln(x)/x für positive x mit den schulüblichen Mitteln analysiert, sollte auch ein Q2-Schüler des Abiturjahrgangs 2016 den Beweis der obigen Aufgabe zum Kommutativgesetz erbringen können.
